A harmonikus sor - studopediya

A szükséges feltétele a konvergencia egy sorozat.

Megtaláljuk a n-edik részösszegként és korlátot egy tetszőleges sorozat sok esetben kihívást jelent. Ezért, hogy meghatározzák a konvergencia konvergencia létre sajátosságai. Ezek közül az első, mint a szabály, szükséges a konvergencia.

1. Tétel. Ha a sorozat (1) konvergál, akkor annak általános kifejezés nullához, azaz. E.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a sorozat (1) konvergál. Akkor (és mikor). Tekintettel arra, hogy megkapjuk

Következmény 1 (elégséges feltétele számos eltérések). Ha ezt a határt, vagy nem létezik, akkor a sorozat eltér.

Valóban, ha a sorozat konvergál, akkor (a tétel). De ez ellentmond a hipotézist. Ennélfogva, a sorozat eltér.

2. példa Test sorozat konvergál.

Megoldás: Számos esélye, mint

t. e. elégséges feltétele számos eltérést mutat.

3. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia

Megoldás: Ez a sorozat eltér.

1. Tétel ad szükséges feltétele a konvergencia a sorozat, de nem elégséges: a feltétel nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Ez azt jelenti, hogy vannak eltérő sorozat, amelyre.

Példaként, úgy az úgynevezett harmonikus sor

Nyilvánvaló, hogy. Ugyanakkor számos (7) divergál. Megmutatjuk ezt.

Köztudott, hogy a. Ez azt jelenti, hogy minden egyenlőtlenség. . Logaritmusát véve ezt az egyenlőtlenséget megkapjuk az alap e:

Behelyettesítve a egyenlőtlenség kapott váltakozva n = 1, 2, ..., n - 1, n, azt kapjuk:

Hozzáadása ezeket az egyenlőtlenségeket Terminusonként kapjuk Mivel, megkapjuk t. E. harmonikus sor (7) divergál.

A rendszer egy másik lehet venni több

Itt van. Azonban ez a sorozat eltér.

t. e .. Ennélfogva, a sorozat eltér.