A maximális és minimális funkciók - studopediya

Egy pont X0 nevezzük maksimumafunktsii pont y = f (x), ha létezik # 948; - szomszédságában x0, hogy minden x ≠ x0 ezen a környéken egyenlőtlenség f (x)

Hasonlóan definiáljuk a minimum pont a funkció: x0 - tochkaminimumafunktsii ha. 8. ábra X1- minimális pontot, és az a pont x2 - maximum pontját az y = f (x).

A függvény értéke a maximális pont (minimum a mini) magas (vagy alacsony) függvény. A maximális (minimális) függvényt hívjuk etsya szélsőérték funkciót.

A fogalom a szélsőérték mindig jár egy bizonyos pont szomszédságában a domain a funkciót. Ezért a funkció csak extrémuma a belső tochkahoblasti meghatározás. Tekintsük a létfeltételek-CIÓ extrém funkciókat.

Tétel (szükséges feltétele egy szélsőérték).

Ha differenciálható függvény az y = f (x) egy szélsőérték a ponton x0, bizony, hogy annak deriváltja abban a pontban nulla: F „(x0) = 0.

Geometriailag egyenletet f „(x0) = 0 ÓZNA-chaet hogy szélsőérték pont az én-differenciálható függvény y = f (x) érintőleges a gráf-ku, a tengellyel párhuzamos Ox (lásd. Ábra. 9).

Megjegyezzük, hogy az inverz tétel hamis, vagyis ha f „(x0) = 0, ez nem jelenti azt, hogy x0 - .. Extremum pont. Például, a függvény az y = x 3 annak származéka

y „= 3 2 nulla az x = 0 és x = 0 extremális pont (lásd. ábra. 10.).

Vannak olyan funkciók, amelyek szélsőérték pont nem származékot. Például, egy folytonos függvény = | x | azon a ponton, x = 0 nem rendelkezik a származék, de a pont x = 0 - minimális pont (lásd 11. ábra ..).

Tehát a folytonos függvény lehet egy szélsőérték csak pontokon, ahol a származék jelentése nulla vagy nem létezik. Ezeket nevezzük a Cree-iai.

Tétel (elégséges feltétele extrémuma).

Ha a folytonos függvény az y = f (x) differenciálható néhány # 948; -vicinity kritikus pont x0 és az átmeneti rajta (balról jobbra), a származék f „(x) változik splyusa mínusz, akkor x0 a maximális pont; mínusz plusz, akkor x0 - a minimális pontot.

Annak vizsgálatára, a funkciója a szélsőérték az, hogy megtalálja a neki extra Muma.

Ahhoz, hogy megtalálja a pontot a szélsőérték ezt a funkciót, meg kell:

1) megtalálják a kritikus pontok a függvény y = f (x);

2) válassza ki a nekik csak azokat a pontokat, amelyek a belső domain a funkció;

3) megvizsgálja a jele a származék f „(x) mindkét oldalán minden egyes kiválasztott kritikus pontok;

4) összhangban tétel (elégséges feltétele extrémuma) előírják szélsőérték pont (ha van ilyen), és ki kell számítani az értékét a függvény bennük.

Tétel. Ha a pont X0 első deriváltját f (x) egyenlő nullával (f „(x0) = 0), és a második derivált pontban x0 létezik, és nullától eltérő (f "(x0) ≠ 0), akkor az f"(x0 ) <0 в точке x0 функция имеет максимум и минимум - при f "( x0 )> 0.