8 osztály, a lecke tulajdonságait numerikus egyenlőtlenségek megoldási módozatok

Lecke és bemutatása a témáról: „Az alapvető tulajdonságait számszerű egyenlőtlenségek és hatásukat az oldatot.”

Bevezetés a numerikus egyenlőtlenség

Srácok az egyenlőtlenségek már láttuk, például akkor, amikor elkezdtük megismerni a koncepció a négyzetgyök. Szemléletesen keresztül egyenlőtlenségek tudja értékelni, hogy ezek közül a számok nagyobb vagy kisebb. A matematikai leírás elég hozzá egy speciális karakter, ami azt jelentené, több vagy kevesebb.

Vedd kifejezést $ a> b $ a matematika nyelvén azt jelenti, hogy a szám $ a $, mint ahány $ b $. Ez viszont azt jelenti, hogy $ a-b $ - pozitív szám.
Írásban a kifejezést $ a

Mint szinte minden matematikai objektumok egyenlőtlenségek bizonyos tulajdonságaikat. A tanulmány ezen tulajdonságok fogunk tenni ebben a leckében.

Bizonyítás.
Nyilvánvaló, hogy a 10 $> $ 5 és $ 5> 2 $, és természetesen a 10 $> $ 2. De a matematika élvezi erős bizonyíték a legáltalánosabb eset.
Ha a $ a> b $, akkor $ a-b $ - pozitív szám. Ha a $ b> c $, akkor a $ b-c $ - pozitív szám. Tegyük fel azt a két kapott pozitív számok.
$ A-B + B-C = A-C $.
Az összeg két pozitív számok egy pozitív szám, de aztán $ a-c $, mint egy pozitív szám. Ami azt jelenti, hogy a $ a> c $. Az ingatlan bizonyult.

Tisztábban, és ez a tulajdonság jelenik meg a számegyenesen. Ha a $ a> b $, a szám $ a $ a számegyenesen fog alapulni a jogot a $ b $. Ennek megfelelően, ha a $ b> c $, a szám $ b $ lesz hazudni a jogot a szám $ a $.
Mint látható az ábrán ebben az esetben az a pont $ a $ joga van az a pont, $ c $, és ez azt jelenti, hogy $ a> c $.

Az ingatlan 2.
Ha a $ a> b $, akkor $ a + c> b + c $.
Más szóval, ha a szám $ a $, mint ahány $ b $, akkor mi már nem vett be a számot (pozitív vagy negatív), hogy ezek a számok, egyenlőtlenség jele is lehet menteni. Megmutatjuk, ez a tulajdonság nagyon egyszerű. Meg kell végre egy kivonás. Az egyik változó adunk fog tűnni, és kap a megfelelő kezdeti egyenlőtlenség.

Az ingatlan 3.
a) Ha mindkét oldalán az egyenlőtlenség szorozni egy pozitív szám, akkor a jele egyenlőtlenség fennáll.
Ha a $ a> b $ és $ c> 0 $, akkor $ ac> bc $.
b) Ha mindkét oldalán az egyenlőtlenség szorozva negatív szám, az egyenlőtlenség jele kellene változtatni az ellenkezője.
Ha a $ a> b $ és $ c $ b és $ c> d $, akkor $ a + c> b + d $.

Bizonyítás.
A feltétel: $ a-b $ - pozitív szám, és $ c-d $ - pozitív szám.
Ezután az összeg $ (a-b) + (c-d) $ - túl pozitív szám.
Interchange néhány kifejezést $ (a + c) - (b + d) $.
A változás összege helyeken nem változik.
Ennélfogva $ (a + c) - (b + d) $ - pozitív szám, és $ a + c> b + d $.
Az ingatlan bizonyult.

Az ingatlan 5.
Ha a $ a, b, c, d $ - pozitív számok, és $ a> b $, $ c> d $, akkor $ ac> bd $.

Bizonyítás.
Mivel $ a> b $ és $ c> 0 $, akkor a property 3, van egy $ ac> bc $.
Mivel $ c> d $ és $ b> 0 $, akkor a property 3, van egy $ cb> bd $.
Tehát $ ac> bc $ és $ bc> bd $.
Ezután, az ingatlan 1, megkapjuk $ ac> bd $. QED.

Definíció.
Egyenlőtlenségek az űrlap $ a> b $ és $ c> d $ ($ a Egyenlőtlenségek az űrlap $ a> b $ és $ cd $) nevezik az egyenlőtlenségek az ellenkező irányba.

Akkor az ingatlan 5 lehet körülírni. Ha megszorozzuk az egyenlőtlenségek az értelemben, ahogyan a jobb és bal oldalán a pozitív, megkapjuk ugyanazt jelenti.

Az ingatlan 6.
Ha a $ a> b $ ($ a> 0 $, $ b> 0 $), akkor a $ a ^ n> b ^ n $, ahol $ N $ - bármely természetes szám.
Ha mindkét oldalán a egyenlőtlenség pozitív számok, és építeni az azonos természetes erő, akkor kap az értelemben az egyenlőtlenség.
Megjegyzés: ha a $ n $ - páratlan szám, akkor bármilyen jele számok $ a $ és $ b $ 6 ingatlan végre.

Az ingatlan 7.
Ha a $ a> b $ ($ a> 0 $, $ b> 0 $), akkor a $ \ frac $ 0.
Ezután $ \ $ frac - negatív szám. Az ingatlan bizonyult.

Az ingatlan 8.
Ha a $ a> 0 $, a következő egyenlőtlenség teljesül: $ a + \ frac≥2 $.

Bizonyítás.
Nézzük meg a különbséget.
$ A + \ frac-2 = \ frac = \ frac $ - negatív szám.
Az ingatlan bizonyult.

Tulajdonság 9. Cauchy egyenlőtlenség (számtani átlag nagyobb, vagy egyenlő, mint a geometriai átlag).
Ha $ a $ és $ b $ - nem negatív szám, akkor a következő egyenlőtlenség: $ \ frac≥ \ sqrt $.

Bizonyítás.
Nézzük meg a különbséget:
$ \ Frac \ sqrt = \ frac + b> = \ frac) ^ 2> $ - nem-negatív szám.
Az ingatlan bizonyult.

Ilyen megoldásokat az egyenlőtlenségek

Határozat.
a) használhatja az ingatlant 3. Mi szorozzuk egy pozitív szám, akkor az egyenlőtlenséget jel nem változik.
$ 3 -1.5 * $ -4.5<3a<6.3$.

b) használja a tulajdonság 3. Mi szorozza negatív szám, akkor az egyenlőtlenség jele megváltozik.
$ -2 * 3,1> -2 * b> -2 * 5.3 $.
$ -10,3 (2+ \ sqrt) ^ 2 $.
Mivel mind a számos pozitív, akkor:
$ \ Sqrt + \ sqrt> 2+ \ sqrt $.

hozzászólás