A kanonikus forma egy másodrendű görbe
Másodrendű egyenlet formájában
Ez határozza meg a repülőgép görbét. Egy csoport tagjai nevezett négyzetes formában, - egy lineáris formában. Ha a négyzetes alak a négyzetek tartalmaznak csak változók, mint a céllal, az úgynevezett kanonikus és ortonormáiis bázis vektorok, amelyekben a kvadratikus alak egy kanonikus formában, úgynevezett fő tengelye a kvadratikus alak.
A mátrix az úgynevezett mátrix a kvadratikus alak. Itt van. A mátrix diagonális formában, a szükséges alap, hogy a sajátvektorai ez a mátrix, akkor hol # 955; 1 és # 955; 2 - sajátértékei B.
Az alapot a sajátvektorok másodfokú B forma lesz a kanonikus formában.
Ez a művelet megfelel a forgatás a koordináta-tengely. Ezután a váltás a származási, így megszabadulni a lineáris formában.
A kanonikus forma egy másodrendű görbe, ahol:
a) ha # 955; 1> 0; # 955; 2> 0 - ellipszis, különösen az, hogy # 955; 1 = # 955; 2 egy kört;
b) ha # 955; 1> 0, # 955; 2 <0 (λ1 <0, λ2>0) van egy hiperbola;
c) ha # 955; 1 = 0 vagy # 955; 2 = 0, a görbe egy parabola és után a forgási tengelye a forma (itt # 955; 2 = 0). Kiegészítve a teljes tér, van :.
Példa. Mivel az egyenlet a görbe
egy koordináta-rendszerben (0, i, j), ahol.
1. Határozza meg a görbe.
2. Ahhoz, hogy az egyenlet kanonikus és építeni egy görbe az eredeti koordinátarendszerben.
3. Keresse meg a megfelelő koordináta transzformáció.
Határozat. Itt látható a kvadratikus alak B = 3x 2 + 10xy + 3y 2 és a fő tengely, azaz, hogy a kanonikus formában. A mátrix e kvadratikus alak. Mi található a sajátvektor és sajátérték e mátrix:
A karakterisztikus egyenlet:
; # 955; 1 = -2 # 955; 2 = 8. Kvadratikus alak :.
Az eredeti egyenlet definiálja túlzás.
Megjegyezzük, hogy a kvadratikus alak nem egyértelmű. Írhatók, azonban a görbe jellege változatlan maradt - túlzás.
A fő tengelye a négyzetes forma, vagyis sajátvektorait B ..
Sajátvektor számának megfelelően # 955; = - 2, ha X1 = 1 :.
Mint egy sajátvektor fogadja vektor, ahol - a vektor hosszát.
Koordináták második sajátvektor megfelel a második sajátérték # 955 = 8, azt látjuk, a rendszer
.
; .
Tehát van egy új ortonormált bázis.
By (5) bekezdés 4.3.3. költözik egy új alapot:
vagy
Azt, hogy kifejezései x és y az eredeti egyenlet, és miután átalakulások megkapjuk :.
Válassza ki a tökéletes négyzetek. .
Döntetlen párhuzamos fordítás tengelyek az új kezdet :.
Ha teszik az összefüggéseket (*), és lehetővé teszi az egyenletek tekintetében x2 és y2. megkapjuk :. Ebben a koordinátarendszerben, az egyenlet a következő formában :.
A konstrukció a görbe a régi épület egy új koordinátarendszert: x2 = 0 tengelye adott egyenlet a régi koordináta-rendszer X-Y-3 = 0, és Y 2 = 0 tengely egyenletet x + y-1 = 0. Kezdve egy új koordináta-rendszer 0 * (2, -1) van a metszéspont Ezeknek az egyenes.
Egyszerűsítése érdekében a felfogást osztja a folyamatot ábrázolási 2 szakaszból áll:
1. Átmenet a koordináta-rendszer tengelyei x2 = 0, Y 2 = 0, az egyenletek adott a régi koordináta-rendszer X-Y-3 = 0, és x + y-1 = 0, ill.
2. Építési rendszer kapott grafikon koordinátáit.
A végleges változat a grafikon a következő (lásd, hogyan kell építeni egy grafikont.):
Feladat. Ólom kanonikus formában egyenes egyenlete 17x 2 + 12xy + 8Y 2-20 = 0.
2. példa Megoldás: XML
Feladat. Ólom a kanonikus formában a másodrendű egyenes egyenlete segítségével az elmélet a kvadratikus formák és hogy meghatározza annak megjelenését. Az egyenlet a görbe a másodrendű kivonva négyzet teljes csökken kanonikus formában. Megoldás: xml
Feladat. Csökkenti az egyenlet a kanonikus formában: 16x 2 - 9y 2 -64x - 8Y 199 = 0.
Megoldás .Skachat megoldás: xml
Feladat. Annak megállapítása, hogy az egyes a következő egyenlet határozza meg a túlzó és megtalálják a középpontjának koordinátáit C, a félig különcség, az egyenletek a aszimptotákkal és az igazgatónő az egyenlet. Ábrázolják a túlzó említett rajzokon trükkök, az igazgatónő és aszimptota.
Megoldás: Letöltés megoldás: xml
Feladat. Annak megállapítása, hogy az egyes a következő egyenletek egy ellipszis, és találja meg a koordinátákat a központ C, a félig excentricitás igazgatónő az egyenlet. Ábrázolja az ellipszis a rajzon, jelezve a szimmetria tengelye és direktrixét gócok.
Megoldás: Letöltés megoldás: xml