Extremum funkció, növekedés és csökkenés
A függvény y = f (x) nevezzük növekvő (csökkenő) egy bizonyos időközönként, ha x1
Ha differenciálható függvénye y = f (x), az [a. b] növeli (csökken) annak származékát ezen intervallumon f „(x)> 0
Ho pont az úgynevezett lokális maximum (minimum) az f (x), ha létezik egy olyan környéken Ho. Minden pont, ahol a egyenlőtlenség f (x) ≤ f (Ho) (f (x) ≥ f (Ho)).
Point maximális és minimális pontot nevezzük extrém. és a függvény értékei ezeken a pontokon - a szélsőségek.
szélsőérték pont
Szükséges feltételeket extrémuma. Ha Ho egy pont szélsőérték az f (x), akkor vagy f „(Ho) = 0 vagy F (Ho) nem létezik. Az ilyen pontokat nevezzük kritikus és a funkció határozza meg a kritikus pontot. Szélsőséges funkciók között megtalálhatók a kritikus pontokat.
Az első feltétel elegendő. Let Ho - a kritikus pont. Ha f „(x), amikor áthalad a ponton Ho változik jele a plusz mínusz, majd azon a ponton, Ho funkció maximum, egyébként - legalábbis. Ha átmegy a kritikus pont a származék nem változik jel, akkor azon a ponton, Ho nincs szélsőérték.
A második elégséges feltétel. Legyen az f (x) egy származékát
f „(x) a szomszédságában Ho és második derivált a ponton Ho. Ha f „(x n) = 0,> 0 ( <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
Az [a, b] az y = f (x) elérheti a legkisebb vagy a legnagyobb értéket, vagy a kritikus pontokat vagy szegmensek végein [a, b].
Példa 3,22. Find szélsőértékében az f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Határozat. Mivel f „(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (X - 3), a kritikus pontok a 2. és x1 = x2 = 3. A szintek maximális lehet csak ezeken a pontokon. Tehát, amit mozoghat a pont x1 = 2 származék előjelet származó plusz mínusz, akkor ezen a ponton a funkció maximum. Amikor ponton áthaladó x2 = 3 deriváltja elõjelet mínusz plusz, így azon a ponton, x2 = 3 a funkció legalább. Kiszámítása függvény értékei pontokon
x1 = x2 = 2 és 3, találunk szélsőértékében a függvény: maximális F (2) = 14, és a minimális f (3) = 13.
A probléma megtalálni a funkció szélsőérték
Példa 3,23. Ki kell építeni egy téglalap alakú területen, közel a kőfal, hogy három oldalról azt bekerített a dróthálót, és a negyedik oldalon mellett a falon. Ehhez van egy folyóméter net. Hogy milyen képarány platform lesz a legnagyobb területen?
Határozat. Jelöljük oldalán pad keresztül x és y. Pad mérete S = xy. Legyen y - a hossza az oldalsó fala melletti. Ezután a hipotézis az egyenlőség 2x + y = a. Ezért, y = a - 2x és S = x (a - 2x), ahol a
0 ≤ x ≤ A / 2 (pad hossza és szélessége nem lehet negatív). S „= A - 4x, egy - 4x = 0, x = a / 4, ahol
y = a - 2 × A / 4 = a / 2. Mivel x = a / 4 - az egyetlen kritikus pont, akkor ellenőrizze, hogy a származékos előjelet, amikor áthalad a ponton. Amikor x a / 4, S '> 0, és ha x> a / 4, S' <0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 ( кв. ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Példa 3,24. Előállításához szükséges egy zárt hengeres tartály kapacitása V = 16, p ≈ 50 m 3. Mi legyen a tartály méretei (R sugár és a magasság H), ha a gyártási anyag ment legkevesebb?
Határozat. Teljes felület a henger egyenlő S = 2 p R (R + H). Tudjuk, hogy a henger térfogata V = p R2 H Þ N = V / p R 2 = 16 p / p R 2 = 16 / R 2. Ezért S (R) = 2 p (R 2 + 16 / R). Megtaláljuk a származékos ezt a funkciót:
S „(R) = 2 p (2R- 16 / R 2) = 4, p (R- 8 / R 2). S „(R) = 0, ha R 3 = 8, tehát,
R = 2, n = 16/4 = 4.
Példa 3,22. Find szélsőértékében az f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Határozat. Mivel f „(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (X - 3), a kritikus pontok a 2. és x1 = x2 = 3. A szintek maximális lehet csak ezeken a pontokon. Tehát, amit mozoghat a pont x1 = 2 származék előjelet származó plusz mínusz, akkor ezen a ponton a funkció maximum. Amikor ponton áthaladó x2 = 3 deriváltja elõjelet mínusz plusz, így azon a ponton, x2 = 3 a funkció legalább. Kiszámítása függvény értékei pontokon
x1 = x2 = 2 és 3, találunk szélsőértékében a függvény: maximális F (2) = 14, és a minimális f (3) = 13.
Példa 3,23. Ki kell építeni egy téglalap alakú területen, közel a kőfal, hogy három oldalról azt bekerített a dróthálót, és a negyedik oldalon mellett a falon. Ehhez van egy folyóméter net. Hogy milyen képarány platform lesz a legnagyobb területen?
Határozat. Jelöljük oldalán pad keresztül x és y. Pad mérete S = xy. Legyen y - a hossza az oldalsó fala melletti. Ezután a hipotézis az egyenlőség 2x + y = a. Ezért, y = a - 2x és S = x (a - 2x), ahol a
0 ≤ x ≤ A / 2 (pad hossza és szélessége nem lehet negatív). S „= A - 4x, egy - 4x = 0, x = a / 4, ahol
y = a - 2 × A / 4 = a / 2. Mivel x = a / 4 - az egyetlen kritikus pont, akkor ellenőrizze, hogy a származékos előjelet, amikor áthalad a ponton. Amikor x a / 4, S '> 0, és ha x> a / 4, S' <0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 ( кв. ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Példa 3,24. Előállításához szükséges egy zárt hengeres tartály kapacitása V = 16, p ≈ 50 m 3. Mi legyen a tartály méretei (R sugár és a magasság H), ha a gyártási anyag ment legkevesebb?
Határozat. Teljes felület a henger egyenlő S = 2 p R (R + H). Tudjuk, hogy a henger térfogata V = p R2 H Þ N = V / p R 2 = 16 p / p R 2 = 16 / R 2. Ezért S (R) = 2 p (R 2 + 16 / R). Megtaláljuk a származékos ezt a funkciót:
S „(R) = 2 p (2R- 16 / R 2) = 4, p (R- 8 / R 2). S „(R) = 0, ha R 3 = 8, tehát,
R = 2, n = 16/4 = 4.