Meghatározása rangot mátrix

Együttműködik a koncepció rangú mátrix, adatokra van szükségünk a téma „algebrai kiegészítések és a kiskorúakat. Típusai kiskorúak és cofactors.” Különösen vonatkozik ez a „kisebb a mátrix”. a rangsorban a mátrix lesz felismerni azt a kiskorúak.

A helyezés a mátrix az úgynevezett maximális rendjét kiskorúak, amelyek között van legalább egy nem nulla.

Egyenértékű mátrix - mátrix, amelynek soraiban egyenlő.

Hadd magyarázzuk meg részletesebben. Tegyük fel, hogy a kiskorúak körében a másodrendű legalább egy nullától eltérő. És minden kiskorú, akinek érdekében kettőnél nagyobb, nulla. Következtetés: a rang 2. Vagy például, többek között a kiskorúak érdekében tíz legalább egy nem nulla. És minden kiskorú, akinek érdekében nagyobb, mint 10, nulla. Következtetés: a rangot 10.

Kijelölt rangot mátrix $ A $, mint: $ \ megcsörrent A $ és $ r (A) $. Rang nullmátrix $ O $ nullának, $ \ csengett O = $ 0. Emlékezzünk vissza, hogy a formáció a mátrix igényel kisebb Eltávolított sorok és oszlopok -, de törölni sorok és oszlopok felett maga a mátrix tartalmaz lehetetlen. Például, ha $ F $ mátrix mérete $ 5 \ alkalommal $ 4 (azaz, tartalmaz 5 sort és 4 oszlopot), a maximális rendjét kiskorúak egyenlő négy. Kiskorúak ötödrendű formájában nem sikerül, mert a 5 oszlop szükséges őket (és van összesen 4). Ez azt jelenti, hogy a rangot a mátrix $ F $ nem lehet több, mint négy, azaz $ \ Rang F≤4 $.

Általánosabb formában a fentiek azt jelentik, hogy ha a mátrix tartalmaz sorokat $ m $ és $ N $ oszlopot, majd a rangsorban nem haladhatja meg a legalacsonyabb a számok $ m $ és $ N $, azaz $ \ Rang A≤ \ min (m, n) $.

Elvileg nagyon meghatározása rang legyen a módszer a helyét. A folyamat a megállapítás a mátrix, hogy meghatározzák a rangot sematikusan az alábbiak szerint:

Ezt fejtem áramkört részletesebben. Mi elkezdenek beszélni a kezdetektől, azaz kiskorú elsőrendű mátrix $ A $.

1. Ha az összes kiskorúak elsőrendű (azaz, a mátrix elemek $ A $) nulla, akkor a $ \ csengett A = 0 $. Ha a kiskorúak körében az elsőrendű legalább egy nullától, akkor a $ \ megszólalt A≥ $ 1. Mi jár a vizsgálat a kiskorúak a másodrendű.
2. Ha minden másodrendű kiskorúak nulla, akkor a $ \ csengett A = 1 $. Ha a kiskorúak körében a másodrendű legalább egy nullától, akkor a $ \ megszólalt A≥ $ 2. Mi jár a vizsgálat a harmadik rendet, a kiskorúak.
3. Ha minden kiskorú harmadrendű nulla, akkor a $ \ csengett A = 2 $. Ha a kiskorúak körében harmadrendű legalább egy nullától, akkor a $ \ megszólalt A≥ $ 3. Mi jár az ellenőrzés kiskorúak negyedrendű.
4. Ha az összes kiskorú a negyedrendű nulla, akkor a $ \ csengett A = 3 $. Ha a kiskorúak körében negyedrendű van legalább egy nem nulla, akkor a $ \ megszólalt A≥ 4 $. Mi jár az ellenőrzés kiskorúak ötödrendű, és így tovább.

Mi vár ránk a végén ez az eljárás? Lehetséges, hogy körében a kiskorúak a k-adik érdekében van legalább egy nem nulla, és valamennyi kiskorú (k + 1) -edik érdekében nulla lesz. Ez azt jelenti, hogy a k - a legnagyobb sorrendben a kiskorúak, amelyek között van legalább egy nem-nulla, azaz Rank egyenlő k. Lehet, hogy a helyzet más: kiskorúak körében a k-adik érdekében lesz legalább egy nem nulla, és a fiatalkorúak (k + 1) nem lesz képes a végett. Ebben az esetben is megegyezik a rangja k. Röviden, a sorrendben az utolsó nemnulla kisebb összeállítani és egyenlő lesz a rangot a mátrixban.

Azt viszont, hogy a példákban, amelyekben a folyamat találni a mátrix, hogy meghatározzák a rangot szemléltetjük grafikusan. Ismét hangsúlyozom, hogy a példákban a téma meg fogjuk találni a rangot a mátrix segítségével meghatározza a rangsorban. Egyéb módszerek (rank mátrix számítási módszer fringing kiskorúak. Helyezés mátrix számítási módszer elemi transzformációk) vesszük figyelembe az alábbi témákat.

By the way, nem kell kezdeni az eljárást találni rang kiskorúak legkisebb érdekében, ahogy az alábbi példák №1 és №2. Mehetsz közvetlenül a kiskorúak nagyobb megbízások (lásd. Példa №3).

Keresse rangot a mátrix $ A = \ left (\ begin 5 0 -3 0 2 \\ 7 0 -4 0 3 \\ 2 0 -1 0 1 \ end \ right) $.

Ez a mátrix a mérete $ 3 \ szor $ 5, azaz Ez magában foglalja a három sorban és öt oszlopban. A számok a 3. és 5. a minimum 3, ezért a rangot $ A $ nem nagyobb, mint 3, azaz $ \ Rang A≤ $ 3. És ez az egyenlőtlenség nyilvánvaló, hiszen a kiskorúak negyedik megrendelőlap nem tudunk, - nekik van szüksége 4 sor, és már csak 3 Azt viszont közvetlenül a folyamat találni egy adott rangot mátrixban.

Kiskorúak körében elsőrendű (azaz többek között a mátrix elemeinek $ A $) értéke nem nulla. Például, 5, -3, 2, 7. Általában nem vagyunk érdekeltek a teljes száma nem nulla elemek. Van legalább egy nem-nulla elemet - és ez elég. Mivel között kiskorúak az elsőrendű legalább egy nem nulla, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a $ \ megszólalt A≥ $ 1 és megy, hogy ellenőrizze a kiskorúak a másodrendű.

Kezdeni, hogy vizsgálja meg a másodrendű kiskorúak. Például, a kereszteződésekben sor №1, №2 és oszlopok №1, №4 vannak elemek, mint a kisebb: $ \ left | \ begin 5 0 \\ 7 0 \ end \ right | $. Ez a determináns minden elemét a második oszlopban a nulla, és ezért a meghatározó maga nullával egyenlő, azaz a $ \ Left | \ begin 5 0 \\ 7 0 \ end \ right | = 0 $ (lásd ingatlan №3 a téma tulajdonságait meghatározó.). Azt is megteheti, triviális kiszámolni meghatározó, a következő képlet segítségével №1 szóló rész a számítás a meghatározói a második és harmadik megrendeléseket.

$$ \ left | \ begin 5 0 \\ 7 0 \ end \ right | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Először azt vizsgáltuk Minor másodrendű volt nullával egyenlő. Mit jelent ez? Az a tény, hogy az, hogy tovább kell ellenőrizni a kiskorúak a másodrendű. Vagy ezek mind nulla (és akkor a rang egyenlő 1-gyel), az egyikük van legalább egy kisebb, nem nulla. Próbáljuk, hogy végre egy jobb választás írásban a Minor a másodrendű, amelynek elemei vannak kereszteződésénél található a sorok №1, №2 és oszlopok №1 és №5: $ \ left | \ begin 5 2 \\ 7 3 \ end \ right | $. Találunk a jelentősége ennek a kisebb másodrendű:

$$ \ left | \ begin 5 2 \\ 7 3 \ end \ right | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Ez kisebb nem nulla. Következtetés: a kiskorúak körében a másodrendű legalább egy nullától eltérő. Ezért $ \ megszólalt A≥ $ 2. Meg kell kezdeni a vizsgálatot kiskorúak harmadik rend.

Ha a kiskorúak alkotják a harmadik rend fogjuk válassza ki az oszlopot vagy oszlop №2 №4, hogy az ilyen kiskorúak nulla lesz (mivel ezek a nulla oszlop). Továbbra is ellenőrizni csak egy kisebb harmadik rend, amelynek elemei vannak kereszteződésénél található oszlop №1, №3, №5 és vonalak №1, №2, №3. Írunk ez a kisebb és megtalálni a jelentését:

$$ \ left | \ begin 5 -3 2 \\ 7 -4 3 \\ 2 -1 1 \ end \ right | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

Így az összes kiskorú a harmadik rend nulla. Az utolsó általunk összeállított nullától kisebb volt a másodrendű. Következtetés: a maximális sorrendben a kiskorúak, amelyek között van legalább egy nem nulla, egyenlő 2. Ezért $ \ csengett A = 2 $.

Keresse rangot a mátrix $ A = \ left (\ -1 ​​kezdődik 3 2 -3 \\ 4 -2 5 1 \\ -5 0 -4 0 \\ 9 7 8 -7 \ end \ right) $.

Van egy négyzetes mátrix negyedik sorrendben. Most azt látjuk, hogy a rangsorban ez a mátrix nem több, mint 4, azaz a $ \ Rang A≤ 4 $. Kapunk le, hogy megtalálják a rangot egy mátrix.

Között a kiskorúak az elsőrendű (azaz, többek között a mátrix elemeinek $ A $) legalább egy nem nulla, ezért $ \ megnyomta A≥ $ 1. Mi jár a vizsgálat a kiskorúak a másodrendű. Például, a kereszteződésekben sor №2, №3 és oszlopok №1 és №2 kapjunk kisebb másodrendű: $ \ left | \ Begin 4 \\ -2 -5 0 \ end \ right | $. Számoljuk meg:

Között a kiskorúak a másodrendű legalább egy nullától, így $ \ csengett A≥ $ 2.

Térjünk át a harmadrendű kiskorúak. Találunk például kisebb elemek, amelyeket kereszteződésénél található a sorok №1, №3, №4 és oszlopok №1, №2, №4:

$$ \ left | \ Begin -1 3 \\ -3 -5 0 0 \\ 9 7 -7 \ end \ right | = 105-105 = 0. $$

Mivel a kiskorú harmadik rend nullával egyenlő, akkor meg kell, hogy vizsgálja meg egy kisebb harmadik rend. Vagy ők nullával egyenlő (akkor a rang értéke 2), egyikük van legalább egy nullától (akkor hadd fedezze fel a kiskorúakat a negyedrendű). Tekintsük a sorrendben kisterc, amelynek elemei vannak kereszteződésénél található a sorok №2, №3, №4 és oszlopok №2, №3, №4:

$$ \ left | \ Begin -2 5 1 \\ 0 -4 0 \\ 7 8 -7 \ end \ right | = -28. $$

Között a kiskorúak harmadrendű legalább egy nullától, így $ \ csengett A≥ $ 3. Mi jár az ellenőrzés kiskorúak negyedrendű.

Bármilyen kisebb negyedrendű található a kereszteződésekben a négy vonal és négy oszlopban a $ A $. Más szóval, a kisebb negyedrendű - ez a meghatározója a mátrix $ A $, mivel ez csak egy mátrix, amely 4 soros és 4 oszlopos. A determinánsa ez a mátrix számítottuk példa №2 téma „süllyesztése érdekében meghatározó. A bővítés a determináns egy sor mentén (oszlop)”. Tehát csak a kész eredményt:

$$ \ left | \ Begin -1 3 2 -3 \\ 4 -2 5 1 \\ -5 0 -4 0 \\ 9 7 8 -7 \ end \ right | = 86. $$

Tehát Minor negyedrendű nem nulla. Kiskorúak ötödrendű formában nem tudjuk. Következtetés: A legmagasabb rendű kiskorúak, melyek közül legalább egy nem nulla, egyenlő 4. Az eredmény: $ \ megszólalt = 4 $.

Keresse rangot a mátrix $ A = \ left (\ -1 ​​kezdődik 0 2 -3 \\ 4 -2 5 1 \\ 7 -4 0 -5 \ end \ right) $.

Most azt látjuk, hogy ez a mátrix 3 sorból és 4 oszlopos, így $ \ csengetett A≤ 3 $. Az előző példákban elkezdjük a folyamat találni egy rangot venni kiskorúak legalacsonyabb (először). Itt igyekszünk azonnal ellenőrizze a fiatalkorúak számára a lehető legjobb sorrendben. A mátrix $ A $, mint a kiskorúak háromszorosára. Tekintsük a kisebb harmadrendű elemek fekszenek a kereszteződésekben a vonalak №1, №2, №3 és №2 oszlopok, №3, №4:

$$ \ left | \ Begin 0 2 -3 -2 \\ 5 1 \\ -4 0 -5 \ end \ right | = -8-60-20 = -88. $$

Így a legmagasabb rendű kiskorúak, amelyek között van legalább egy nem nulla, egyenlő 3. Ezért, a rangot a mátrix 3, azaz $ \ Rang A = 3 $.

Általánosságban, a megállapítás a rangot a mátrix feladata - az általános esetben a probléma meglehetősen időigényes. Például a mátrix viszonylag kis $ 5 \ alkalommal 4 $ 60 van egy másodrendű kiskorúak. És akkor is, ha 59 közülük nullával egyenlő, a 60. kisebb lehet nem nulla. Ezután meg kell vizsgálni a kiskorúak, a harmadik rend, amely ebben a mátrixban 40 darab. Általában ezek próbál használni egy kevésbé nehézkes módszerek, mint egy eljárás szegélyeket kiskorúak vagy módszer egyenértékű transzformációk.