Típusai diszkontinuitás pont

Funkcionális folyamatosság: alapfogalmak és tulajdonságai

Definíció. Tegyük fel, hogy egy bizonyos időközönként határozzuk meg f (x) és X0 - pont az intervallum. Ha, akkor f (x) az úgynevezett folyamatos ponton x0.
A definíció következik, hogy a folytonosság csak beszélnek azok a pontok, ahol az f (x) határozza meg (a korlát meghatározásánál a függvény ilyen feltételek nem kerülnek). A folyamatos funkció, vagyis a működés az f és ingázik. Ennek megfelelően, a két definíció a határ egy függvény egy olyan ponton lehet adni két meghatározását folytonossági - „a nyelv a szekvenciák” és „a nyelv a egyenlőtlenségek” (a nyelven # 949 - # 948;). Azt javasoljuk, hogy ezt a saját.
A gyakorlati használat néha sokkal kényelmesebb meghatározása folyamatosság a nyelv a lépésekben.
érték # 916; X = x-x0 nevezzük a növekmény az érvelés, és # 916; y = f (x) -f (x0) - a növekmény funkció az átmenet a pont x0 egy pont x.
Definíció. Legyen f (x) meghatározott ponton x0. f (x) függvény folytonos a ponton x0. ha a végtelenül növekmény az érvelés ezen a ponton megegyezik egy végtelenül növekmény funkció, azaz a # 916; y → 0 a # 916; x → 0.

Példa 1. Igazoljuk, hogy a függvény az y = sinx folyamatos bármelyik értéke x.
Határozat. Legyen x0 - tetszőleges pontja. Így ez egy növekmény # 916; x, megkapjuk az x = x0 + # 916; x. Aztán. Kapunk.
Definíció. A függvény y = f (x) az úgynevezett folyamatos a ponton x0 jobbra (balra), ha
.
Funkció folytonos belső pontja lesz, ugyanakkor a folyamatos jobbra és balra. Fordítottja is igaz: ha a függvény folytonos a bal és a jobb, akkor folyamatos, ezen a ponton. Azonban a funkció csak akkor lehet folyamatos az egyik oldalról. Például, hogy ,, f (1) = 1, ezért ezt a függvény folytonos csak a bal (lásd a grafikont ezt a funkciót. Fent bekezdésben 5.7.2).
Definíció. A funkció az úgynevezett folyamatos intervallumon, ha folyamatosan minden pontján ezen az intervallumon.
Különösen, ha egy intervallum olyan intervallum, [a, b], hogy a végeinél értünk oldalú folytonosságát.

Tulajdonságok folytonos függvények

1. Minden elemi függvények folytonosak saját domain.
2. Ha f (x) és # 966; (x), egy előre meghatározott intervallumban, folytonosak a ponton X0 ezen intervallum, akkor ezen a ponton is folytonos függvény.
3. Ha az y = f (x) folytonos a ponton X0 X, és z = # 966; (y) folytonos a megfelelő ponton y0 = f (x0) az Y, és az összetett függvény z = # 966; (f ( x)) folytonos a ponton x0.

Hiányosságok funkciók és azok besorolását

Bejelentkezés folytonossági f (x) x0 egyenlő, amely feltételezi a három feltétel:
1) f (x) meghatározott pontnál X0;
2);
3).
Ha legalább az egyik ilyen követelmények sérülnek, akkor x0 egy pont a diszkontinuitás. Más szóval, a kitörési pont az a pont, ahol ez a funkció nem folytonos. A meghatározása töréspontok azt jelenti, hogy a folytonossági pontjai függvény:
a) pontok tartozó domain a funkció, ahol f (x) elveszti folytonosságát tulajdon,
b) pontok nem tartozó domént az f (x), amely szomszédos a két pontot rések domain a funkció.
Például, a funkció pont x = 0 az a pont a diszkontinuitás, mivel a funkció ezen a ponton nem határozza meg, és ez a funkció egy folytonossági hiány a ponton az x = 1, amely szomszédos a két időközönként (-∞, 1) és (1, ∞) domént f (x) nem létezik (lásd 5.7.2).
A következő besorolás elfogadott töréspontok.
1) Ha a végpont és, de f (x0 +0) ≠ f (x0 -0), akkor x0 egy pont a folytonossági hiány az első fajta. Ebben az esetben az úgynevezett ugrást.

2. példa Tekintsük az
A különbség csak működni a ponton x = 2 (más pontok folyamatos, mint minden polinom).
Találunk. Mivel az egyoldalú véges határok, de nem egyenlő egymással, az a pont x = 2, a funkció az első fajta van egy rés. Vegye figyelembe, hogy így a funkció ezen a ponton folyamatos a megfelelő (ábra. 2).
2) A pontokat a diszkontinuitás a második említett típusú olyan pont, ahol legalább az egyik korlátok ∞ egyoldalú, vagy nem létezik.

3. példa A funkció y = 1 február / x folytonos minden x értéke, kivéve a x = 0. Találunk kétoldalas határok :, ezért x = 0 - break pont a második fajta (3. ábra).
3) A pont x = x0 egy pont diszkontinuitás eldobható. ha f (x0 +0) = f (x0 -0) ≠ f (x0).
Gap „eltávolítani” abban az értelemben, hogy elegendő, ha megváltoztatjuk (kiterjeszteni a meghatározás, vagy felülbírálhatja) függvény értéke ezen a ponton, az ő és a funkciót folyamatos lesz a ponton x0.
4. példa Ismert, hogy ez a határ független a törekvés x nullára. De a funkció az x = 0 nincs definiálva. Ha meghatározzuk a függvény beállításával f (0) = 1, akkor nem lenne a folyamatos ezen a ponton (a többi pont ez folyamatos hányadosaként folytonos függvények és sinx x).
5. példa Teszt folytonosság funkciót.
Határozat. Funkció y = x 3 és y = 2x meghatározott és mindenütt folyamatos, beleértve az említett hézagok. Megvizsgáljuk a közös pont az intervallum x = 0:
, , . Azt látjuk, hogy, ami azt jelenti, hogy az x = 0 folyamatos.
Definíció. A függvény folytonos a résen, kivéve egy véges számú pontot diszkontinuitás az első fajta vagy eltávolítható folytonossági hívják szakaszonként folytonos ebben az intervallumban.

Példák folytonos függvények

1. példa A funkció meghatározott és folytonos a (-∞, + ∞), kivéve a pont x = 2. Határozza meg, hogy milyen típusú abbahagyni. Mivel mind, az a pont x = 2 másodrendű diszkontinuitást (ábra. 6.).
2. példa A funkció meghatározott és folyamatos minden x, kivéve X = 0, ahol a nevező nulla. Találunk az egyoldalú határértékek az x = 0:

Egyoldalú határértékek végesek, és megkülönböztethető, ezért x = 0 - elsőrendű diszkontinuitás pont (7. ábra).
3. példa Határozzuk meg, mi pont és milyen hiányosságok olyan funkcióval rendelkezik
Ez a funkció kerül meghatározásra [-2,2]. Mivel 1 x 2 / x rendre folytonos a [-2,0] és [0,2], a különbség lehet rések találkozásánál, azaz azon a ponton, x = 0. Azóta x = 0 egy pont a folytonossági hiány a második fajta.

4. példa megszünteti folytonossági funkciók:
a) azon a ponton, ahol X = 2;
b) azon a ponton, ahol X = 2;
c) az x = 1?
Határozat. Példa a) azonnal lehet azt mondani, hogy a rés az f (x) x = 2 nem lehet kiküszöbölni, mert ezen a ponton a végtelen oldalú határértékek (lásd. 1. példa).
b) G-funkció (x) egy véges egyoldalú határértékeket azon a ponton, ahol X = 2

de nem egyezik, így a rés is lehetetlen eltávolítani.
c) Funkció # 966; (x) az x = 1, hézag van egy egyenlő oldalú véges határok :. Következésképpen, a rés úgy lehet eliminálni, újbóli a függvény az x = 1, ha beállított f (1) = 1 helyett az f (1) = 2.

5. példa mutat, hogy a funkció a Dirichlet

folytonos minden pontban a valós tengely.
Határozat. Legyen x0 - bármely pontján (-∞, + ∞). Mindenesetre környéken létezik racionális és irracionális pont. Ezért, minden környéken x0 funkció lesz értékek 0 és 1 Ebben az esetben nem lehet korlátozó funkció a ponton x0 sem a bal, sem a jobb, majd a Dirichlet függvény minden pontján a számegyenesen megszakítva a második fajta.

6. példa megtalálni azt a pontot, a diszkontinuitás

és meghatározza a típusát.
Határozat. A pontok gyanúja szakadás pont x1 = 2, x2 = 5, x3 = 3.
Azon a ponton, x1 = 2 f (x) egy másodrendű diszkontinuitást, hiszen
.
Point x2 = 5 folyamatosság pont, mivel a függvény értékét ezen a ponton, és a közelében határozza meg a második sorban, ahelyett első :.
Vizsgáljuk meg a pont x3 = 3 :, ami azt jelenti, hogy x = 3 - az első fajta töréspontot.

A független megoldásokat.
Hogy vizsgálja meg a funkciója, hogy meghatározza, hogy milyen típusú a folytonosság és diszkontinuitás pontot:
1); Válasz: X = -1 - kivehető diszkontinuitás pont;
2); A: Gap második fajta azon a ponton, x = 8;
3); Válasz: Az első fajta szünet az x = 1;
4)
A: Azon a ponton, x1 = -5 eltávolítható diszkontinuitás x2 = 1 - másodrendű diszkontinuitás a ponton x3 = 0 - elsőrendű diszkontinuitást.
5) Hogyan válasszuk ki a szám, a függvény

Lenne a folyamatos az x = 0?
Válasz: A = 2.
6) Lehet választani a számát úgy, hogy a funkció

Lenne a folyamatos x = 2?
A válasz: nem.

Adott egy függvény az y = f (x), és két argumentum értékek x1 és x2. Szükséges: 1) megállapítására, hogy a függvény folytonos vagy szakaszos a adatértékek az érvelés; 2) törés esetén meghatározni, hogy milyen az; 3) az érveket, amelyek indokolnák.
, x1 = 1, x2 = 3
megoldás:
a)
Szakító véges és azonos számú. Ezért azon a ponton, x1 folyamatos.

b)

A határérték a pont x = 3 létezik. Ebből következik, hogy ezen a ponton a függvénynek folytonossági hiány. Mivel az egyik korlátok végtelen, akkor a pont a diszkontinuitás a második fajta.